Question

若函数y=x³-

3

2

x²+a在[-1，1]上有最大值3，则该函数在[-1，1]上的最小值是

 

．

Answer 1

分析：本题是典型的利用函数的导数求最值的问题，只需要利用已知函数的最大值为3，进而求出常数a的值，即可求出函数的最小值．

解答：解：由已知，f′（x）=3x²-3x，有3x²-3x≥0得x≥1或x≤0，
因此当x∈[1，+∞），（-∞，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，1]时f（x）为减函数，
又因为x∈[-1，1]，
所以得当x∈[-1，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，1]时f（x）为减函数，
所以f（x）_max=f（0）=a=3，故有f（x）=x³-

3

2

x²+3
所以f（-1）=

1

2

，f（1）=

5

2

因为f（-1）=

1

2

＜f（1）=

5

2

，所以函数f（x）的最小值为f（-1）=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，属于基础题．