Question

1．已知函数f（x）=-x²+2x+2
（1）求f（x）在区间[0，3]上的最大值和最小值；
（2）若g（x）=f（x）-mx在[2，4]上是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的对称轴，得到函数的单调性，从而求出函数的最大值和最小值即可；
（2）先求出g（x）的解析式，求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到关于m的不等式，解出即可．

解答 解　（1）∵f（x）=-x²+2x+2=-（x-1）²+3，x∈[0，3]，对称轴x=1，开口向下，
∴f（x）的最大值是f（1）=3，又f（0）=2，f（3）=-1，
所以f（x）在区间[0，3]上的最大值是3，最小值是-1．
（2）∵g（x）=f（x）-mx=-x²+（2-m）x+2，
函数的对称轴是$x=\frac{2-m}{2}$，开口向下，
又g（x）=f（x）-mx在[2，4]上是单调函数
∴$x=\frac{2-m}{2}$≤2或$x=\frac{2-m}{2}$≥4，即m≥-2或m≤-6．
故m的取值范围是m≥-2或m≤-6．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道基础题．