Question

设函数f（x）的定义域为R．若存在与x无关的正常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为有界泛函．在函数f（x）=2x，g（x）=x²，h（x）=2^x，v（x）=xsinx中，属于有界泛函的有

 

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Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：利用“f（x）为有界泛函”的定义找到符合条件的M即可．

解答： 解：∵|f（x）|=2x，要使|2x|≤M|x|对于任意实数x都成立，只要M≥2可，因此f（x）为有界泛函．
∵|g（x）|=x²，要使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，即x²≤M|x|，当x≠0时，即|x|≤M，因此不存在与x无关的正常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，因此g（x）不为有界泛函；
∵|h（x）|=2^x，当x=0时，|h（0）|=1＞M•0=0，因此不存在与x无关的正常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，因此h（x）不为有界泛函；
∵|v（x）|=|xsinx|≤|x|，∴要使|x|≤M|x|对于任意实数x都成立，只要M≥1即可，因此v（x）为有界泛函．
故答案为：f（x），v（x）

点评：本题属于开放式题，题型新颖，考查数学的阅读理解能力．知识点方面主要考查了函数的最值及其几何意义，考生需要有较强的分析问题解决问题的能力，对选支逐个加以分析变形，利用函数、不等式的进行检验，方可得出正确结论．