Question

如图，△ABC中，AC=BC=

2

2

AB，四边形ABED是矩形，AB=2，平面ABED⊥平面ABC，G、F分别是EC、BD的中点，EC与平面ABC所成角的正弦值为

6

3

．
（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；
（Ⅱ）求BD与面EBC的所成角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接AE，证明GF∥AC，利用直线与平面平行的判定定理证明GF∥底面ABC．
（Ⅱ）说明∠ECB就是EC与平面ABC所成角．然后连结GB，推出BG是斜线BF在平面EBC内的射影，说明∠FBG就是BD与平面EBC所成角．通过在Rt△FBG中，求解BD与面EBC的所成角．

解答： 解：（Ⅰ）连接AE，∵四边形ABED是矩形，∴对角线AE与BD互相平分，
又F为BD的中点，∴F为EA的中点，又G为EC的中点，
∴GF∥AC，GF?底面ABC，AC?底面ABC，
∴GF∥底面ABC．                                （5分）

（Ⅱ）∵平面ABED⊥平面ABC，
平面ABED⊥平面ABC=AB，EB⊥AB，EB?平面ABED，∴EB⊥平面ABC，
∴CB是斜线CE在平面ABC内的射影，
∴∠ECB就是EC与平面ABC所成角．∴sin∠ECB=

6

3

，cos∠ECB=

3

3

∵BC=

2

，∴EC=

6

．         （8分）
∵EB⊥平面ABC，∴EB⊥AC，又∵AC=BC=

2

2

AB，AB=2，
∴AC²+BC²=AB²，∴CB⊥AC．EB∩CB=C，∴AC⊥平面EBC．
∵GF∥AC，∴GF⊥平面EBC，连结GB，则BG是斜线BF在平面EBC内的射影，
∴∠FBG就是BD与平面EBC所成角．                             （11分）
在Rt△FBG中，BG=

6

2

，BF=

2

，cos∠FBG=

BG

BF

=

3

2

，
∴∠FBG=

π

6

．
∴BD与面EBC的所成角为30°．                                 （14分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角以及直线与平面所成角的应用，考查空间想象能力以及计算能力．