Question

已知实数x，y满足

x-3y≤0 x+y-8≥0 y≤7

且不等式axy≥x²+y²恒成立，则实数a的最小值是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：画出约束条件表示的可行域，转化所给的表达式为a的函数，利用函数的单调性与极值求出结果即可．

解答： 解：由

x-3y≤0 x+y-8≥0 y≤7

画出如图所示平面区域，
因为区域中x＞0，y＞0，axy≥x²+y²恒成立得a≥

y

x

+

x

y

恒成立，
令k=

y

x

则

1

3

≤k≤7，
函数f(k)=k+

1

k

在  

1

3

≤k≤1上是减函数，
在1＜k≤7上是增函数，
所以函数f(k)=k+

1

k

最大值为f(7)=

50

7

，
要使a≥

y

x

+

x

y

恒成立，只要a≥

50

7

，所以a的最小值是

50

7

．
故答案为：

50

7

．

点评：本题考查线性规划，不等式及函数极值．考查转化思想以及数形结合的应用．