Question

已知f（x）=

3

sinωx-2sin²

ωx

2

（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）当x∈[

π

6

，

π

3

]时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²A=sinB+sin（A-C），求角A，B的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）首先化简三角函数解析式为一个角的一个三角函数名称的形式，然后根据x的范围求最小值；
（Ⅱ）由f（C）=1，且2sin²A=sinB+sin（A-C），化简得到sinA(2sinA-

3

)=0，求出A，B．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

3

sinωx-2

1-cosωx

2

=

3

sinωx+cosωx-1=2sin（ωx+

π

6

）-1，
由

2π

ω

=π得ω=2，所以f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1，
由x∈[

π

6

，

π

3

]，得

π

2

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴当2x+

π

6

=

5π

6

时，sin（2x+

π

6

）=

1

2

，
f（x）_min=2×

1

2

-1=0；
（ II）由f(C)=2sin(2C+

π

6

)-1及f（C）=1，得sin(2C+

π

6

)=1
而

π

6

≤2C+

π

6

≤2π+

π

6

，所以2C+

π

6

=

π

2

，解得C=

π

6

，…（8分）
由2sin²A=sinB+sin（A-C），
得2sin2A=sin(π-

π

6

-A)+sin(A-

π

6

)，2sin2A=sin(

π

6

+A)+sin(A-

π

6

)，…（9分）2sin2A=sin

π

6

cosA+cos

π

6

sinA+sinAcos

π

6

-cosAsin

π

6

，2sin2A=

3

sinA，…（11分）
sinA(2sinA-

3

)=0
∵0＜A＜π，∴sinA＞0，∴sinA=

3

2

.A=

π

3

或A=

2π

3

，
当A=

π

3

时，B=

π

3

；当A=

2π

3

时，B=

π

6

．…（12分）

点评：本题考查了三角函数的化简、三角函数的最值求法以及解三角形，属于中档题．