Question

设函数f（x）=

3

cos²ωx+sinωxcosωx+a（其中ω＞0，a∈R），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为

π

12

．
（1）求ω的值；   
（2）如果f（x）在区间[-

π

6

，

5π

12

]上的最小值为

3

，求a的值；
（3）证明：直线5x-2y+c=0与函数y=f（x）的图象不相切．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）化简三角函数式，求出周期，利用周期公式求ω；
（2）利用（1）的解析式求2x+

π

3

的范围；
（3）对f（x）求导，得到曲线切线范围，与直线斜率比较，得到答案．

解答： 解：（1）f（x）=

3

×

1+cos2ωx

2

+

1

2

sin2ωx+a=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx+

3

2

+a=sin（2ωx+

π

3

）+

3

2

+a，由题意，2ω×

π

12

+

π

3

=

π

2

，所以ω=1；
（2）由（1）知，f（x）=sin（2x+

π

3

）+

3

2

+a，
∵x∈[-

π

6

，

5π

12

]，∴2x+

π

3

∈[0，

7π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，
∴f（x）在区间[-

π

6

，

5π

12

]上的最小值为-

1

2

+

3

2

+a=

3

，解得a=

1+ 3

2

；
（3）∵f′（x）=2cos（2x+

π

3

）
∴|f′（x）|≤2，∴曲线y=f（x）的切线斜率的取值范围是[-2，2]，
而直线的切线斜率=

5

2

＞2，
∴直线5x-2y+c=0与函数y=f（x）的图象不相切．…（12分）

点评：本题考查了三角函数解析式的化简以及最值求法，关键是正确利用倍角公式等化简三角函数式，属于中档题．