Question

已知数列{a_n}，a_n=pⁿ+λqⁿ（p＞0，q＞0，p≠q，λ∈R，λ≠0，m∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n+1-pa_n}为等比数列；
（2）数列{a_n}中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由．

Answer 1

考点：等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于a_n=pⁿ+λqⁿ，可得a_n+1-pa_n=pⁿ⁺¹+λqⁿ⁺¹-p（pⁿ+λqⁿ）=λ（q²-pq）•q^n-1，由于p＞0，q＞0，p≠q，λ∈R，λ≠0，m∈N^*）．可得λ（q²-pq）≠0，即可证明．
（2）假设数列{a_n}中，存在连续的三项，这三项构成等比数列．则

a

2 n+1

=an•an+2，代入化为化为（p-q）²=0，即p=q．与已知p≠q矛盾，因此假设不成立．
即可得出．

解答： 解：（1）∵a_n=pⁿ+λqⁿ，∴a_n+1-pa_n=pⁿ⁺¹+λqⁿ⁺¹-p（pⁿ+λqⁿ）=λqⁿ（q-p）=λ（q²-pq）•q^n-1，
∵p＞0，q＞0，p≠q，λ∈R，λ≠0，m∈N^*）．
∴λ（q²-pq）≠0，
∴数列{a_n+1-pa_n}为等比数列，首项为λ（q²-pq），公比为q．
（2）假设数列{a_n}中，存在连续的三项，这三项构成等比数列．
则

a

2 n+1

=an•an+2，
化为2λpⁿ⁺¹qⁿ⁺¹=λpⁿqⁿ⁺²+λpⁿ⁺²qⁿ，
化为（p-q）²=0，即p=q．
∵p≠q，∴假设不成立．
∴数列{a_n}中，不存在连续的三项，这三项构成等比数列．

点评：本题考查了等比数列的定义通项公式及其性质，考查了计算能力，属于基础题．