Question

已知椭圆

x2

49

+

y2

24

=1上一点P与椭圆的两个焦点F₁、F₂的连线互相垂直．
（1）求离心率和准线方程；
（2）求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出椭圆的a，b，c，运用离心率公式和准线方程，即可求得；
（2）根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用点P与椭圆的两个焦点F₁，F₂的连线互相垂直以及点P在椭圆上，求出点P的纵坐标，从而计算出△PF₁F₂的面积．

解答： 解：（1）椭圆

x2

49

+

y2

24

=1的a=7，b=2

6

，c=

49-24

=5，
则离心率e=

c

a

=

5

7

，准线方程为：x=±

a2

c

，即为x=±

49

5

；
（2）由（1）知 a=7，b=2

6

，c=5，
两个焦点F₁ （-5，0），F₂（5，0），
设点P（m，n），则由题意得

n

m+5

•

n

m-5

=-1，

m2

49

+

n2

24

=1，n²=

242

25

，即有n=±

24

5

，
则△PF₁F₂的面积为S=

1

2

×2c×|n|=

1

2

×10×

24

5

=24．

点评：本题考查两直线垂直时斜率之积等于-1，以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．