Question

如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M∈AB₁，N∈BC₁，且AM＝BN≠，有以下四个结论：

①AA₁⊥MN；②A₁C₁∥MN；③MN∥平面A₁B₁C₁D₁；④MN与A₁C₁是异面直线．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)

Answer 1

①③

过N作NP⊥BB₁于点P，连接MP，可证AA₁⊥平面MNP，得AA₁⊥MN，①正确；过M，N分别作MR⊥A₁B₁，NS⊥B₁C₁于点R，S，则当M不是AB₁的中点，N不是BC₁的中点时，直线A₁C₁与直线RS相交；当M，N分别是AB₁，BC₁的中点时，A₁C₁∥RS，所以A₁C₁与MN可以异面，也可以平行，故②④错误；由①正确知，AA₁⊥平面MNP，而AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，所以平面MNP∥平面A₁B₁C₁D₁，故③正确．