Question

【题目】如图，椭圆的离心率，且椭圆C的短轴长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆上的三个动点.

（i）若直线过点D，且点是椭圆的上顶点，求面积的最大值；

（ii）试探究：是否存在是以为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 椭圆的方程是

面积的最大值为

不存在是以为中心的等边三角形.

【解析】

利用离心率以及短轴长,求出椭圆中.即可求椭圆的方程;

由已知,直线的斜率存在,设直线方程，联立直线与椭圆方程,利用韦达定理,弦长公式,推出面积的表达式,通过换元,利用导数求出面积的最大值.

假设存在是以为中心的等边三角形.

当在轴上时,推出与为等边三角形矛盾.

当在轴上时,推出与为等边三角形矛盾.

当不在坐标轴时，推出与为等边三角形矛盾.故得解.

（1）由已知得 ，解得 ，

所以椭圆的方程是

由已知可知直线的斜率定存在，设直线的方程为，

，

由 得，所以

所以，

又，所以，

令，

所以，

令，则

所以在上单调递增，所以当时，此时，有最小值此时有最大值.

故得解.

不存在是以为中心的等边三角形.理由如下：

假设存在是以为中心的等边三角形.

当在轴上时,的坐标为,则关于轴对称,的中点在轴上.

又为的中心,所以,可知,

从而,即.

所以与为等边三角形矛盾.

当在轴上时,的坐标为,则关于轴对称,的中点在轴上.

又为的中心,所以,可知,

从而,即.

所以与为等边三角形矛盾.

当不在坐标轴时,设,的中点为,则,

又为的中心,则,可知.

设,则,

又,两式相减得,

从而，

所以,

所以与不垂直,与等边矛盾.

综上所述,不存在是以为中心的等边三角形.