Question

12．已知A，B，C三点的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（sinα，cosα），其中90°＜α＜270°．
（1）若|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，求角α的值；
（2）$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=-1，求$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{1+tanα}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用坐标表示向量，根据|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，可得sinα=cosα，利用90°＜α＜270°，求角α的值；
（2）$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=-1，可得（sinα-3，cosα）•（sinα，cosα-3）=-1，sinα+cosα=$\frac{2}{3}$，sinαcosα=-$\frac{5}{18}$，即可求$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{1+tanα}$的值．

解答 解：（1）∵A，B，C三点的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（sinα，cosα），
∴$\overrightarrow{AC}$=（sinα-3，cosα），$\overrightarrow{BC}$=（sinα，cosα-3），
∵|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，
∴（sinα-3）²+cos²α=sin²α+（cosα-3）²，
∴sinα=cosα，
∵90°＜α＜270°，
∴α=225°；
（2）∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=-1，
∴（sinα-3，cosα）•（sinα，cosα-3）=-1，
∴（sinα-3）sinα+cosα（cosα-3）=-1，
∴sinα+cosα=$\frac{2}{3}$，
∴sinαcosα=-$\frac{5}{18}$，
∴$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{1+tanα}$=sinαcosα=-$\frac{5}{18}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．