Question

（2012•通州区一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求异面直线PC与AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱PA上是否存在一点E，使得平面CDE与平面ADC所成角的余弦值是

2

3

，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明BC⊥AB，利用PA⊥平面ABCD，证明PA⊥BC，从而可证BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）以A为原点，分别以AD，AB，AP所在直线x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得点与向量的坐标，利用向量的夹角公式，即可求异面直线PC与AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）假设在侧棱PA上存在一点E，使得平面CDE与平面ADC所成角的余弦值是

2

3

，求出平面CDE的法向量

n

=(2，-1，

2

m

)，平面ACD的法向量为

AP

=(0，0，2)，利用向量的夹角公式，建立方程，即可求得点E的坐标．

解答：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠DAB=90°，
∴BC⊥AB
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，
∵PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）解：以A为原点，分别以AD，AB，AP所在直线x，y，z轴建立空间直角坐标系．

∴A（0，0，0），D（1，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），P（0，0，2）．
∴

PC

=(2，2，-2)，

AB

=(0，2，0)．
∴cos＜

PC

，

AB

＞=

PC • AB

| PC || AB |

=

4

4 3

=

3

3

∴异面直线PC与AB所成角的余弦值是

3

3

           …（8分）
（Ⅲ）解：假设在侧棱PA上存在一点E，使得平面CDE与平面ADC所成角的余弦值是

2

3

，
设E（0，0，m）（m＞0），∴

DC

=(1，2，0)，

DE

=(-1，0，m)，
∴设平面CDE的法向量为

n

=(x，y，z)，
∴

n

•

DC

=0，

n

•

DE

=0，
∴

x+2y=0 -x+mz=0

令x=2，所以y=-1，z=

2

m

，∴

n

=(2，-1，

2

m

)．
又∵平面ACD的法向量为

AP

=(0，0，2)，
∴cos＜

n

，

AP

＞=

n • AP

| n || AP |

=

4 m

5+ 4 m2 ×2

=

2

3

，∴m=1
∴点E的坐标是（0，0，1）．
∴在侧棱PA上存在一点E（0，0，1），使得平面CDE与平面ADC所成角的余弦值是

2

3

．…（14分）

点评：本题考查线面垂直，考查线线角，面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，正确表示向量是关键．