Question

20．已知函数f（x）=|x-1|-|2x|．
（1）解不等式f（x）＞-3；
（2）求函数y=f（x）的图象与x轴围成的三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（2）画出函数f（x）的图象，求出交点的横坐标，求出三角形的面积即可．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+x，x≤0}\\{1-3x，0＜x＜1}\\{-1-x，x≥1}\end{array}\right.$，
∵f（x）＞-3，
故x≤0时，由1+x＞-3，解得：x＞-4即-4＜x≤0，
当0＜x＜1时，由1-3x＞-3，解得：x＜$\frac{4}{3}$，即0＜x＜1，
当x≥1时，-1-x＞-3，解得：x＜2，即1≤x＜2，
故不等式的解集是（-4，2）；
（2）画出函数f（x）的图象，如图所示：
，
可得函数f（x）的图象与x轴交点的横坐标分别是-1，$\frac{1}{3}$，
即函数f（x）的图象与x轴围成的三角形面积是$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×1=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查数形结合思想以及分类讨论思想，是一道中档题．