Question

15．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为$\frac{1}{3}$，乙每次投篮投中的概率为$\frac{1}{2}$，且各次投篮互不影响．
（1）求甲获胜的概率；
（2）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列
（3）ξ的期望和方差．

Answer 1

分析 （1）对甲投篮次数讨论，得出甲获胜的概率；
（2）利用相互独立事件概率公式计算各种情况的概率，得出分布列；
（3）代入公式计算．

解答 解：设事件A表示甲投篮命中，事件B表示乙投篮命中，则P（A）=$\frac{1}{3}$，P（B）=$\frac{1}{2}$．
（1）若甲投篮一次，获胜概率为P（A）=$\frac{1}{3}$，
若甲投篮两次，获胜概率为P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）P（A）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$，
若甲投篮三次，获胜概率为P（$\overline{A}$）²P（$\overline{B}$）²P（A）=（$\frac{2}{3}$）²×（$\frac{1}{2}$）²×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{27}$，
∴甲获胜的概率为$\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}$=$\frac{13}{27}$．
（2）ξ的可能取值为1，2，3，
则P（ξ=1）=P（A）+P（$\overline{A}$）P（B）=$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{2}{3}$；
P（ξ=2）=P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）P（A）+P（$\overline{A}$）²P（$\overline{B}$）P（B）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+（$\frac{2}{3}$）²×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{9}$，
P（ξ=3）=P（$\overline{A}$）²P（$\overline{B}$）²=（$\frac{2}{3}$）²×（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{9}$．
∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3
P	$\frac{2}{3}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$

（3）E（ξ）=1×$\frac{2}{3}$+2×$\frac{2}{9}$+3×$\frac{1}{9}$=$\frac{13}{9}$．
D（ξ）=（1-$\frac{13}{9}$）²×$\frac{2}{3}$+（2-$\frac{13}{9}$）²×$\frac{2}{9}$+（3-$\frac{13}{9}$）²×$\frac{1}{9}$=$\frac{38}{81}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列，属于中档题．