Question

设函数f(x)=ax+

1

x+b

（a，b为常数），且方程f(x)=

3

2

x有两个实根为x₁=-1，x₂=2，
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心．

Answer 1

分析：（1）把方程的2个实数根分别代入方程得到方程组，解此方程组求出待定系数，进而得到函数的解析式．
（2）利用2个奇函数的和仍是奇函数，再利用图象平移找出所求函数的对称中心．

解答：解：（1）由

-a+ 1 -1+b =- 3 2 2a+ 1 2+b =3

解得

a=1 b=-1

故f(x)=x+

1

x-1

；
（2）证明：已知函数y₁=x，y2=

1

x

都是奇函数，
所以函数g(x)=x+

1

x

也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形，
而f(x)=x-1+

1

x-1

+1，
可知，函数g（x）的图象沿x轴方向向右平移1个单位，
再沿y轴方向向上平移1个单位，即得到函数f（x）的图象，
故函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形．

点评：本题考查用待定系数法求函数解析式，函数图象的平移．