Question

设函数f（x）=x²+aln（x+1）
（Ⅰ）若a=-4，写出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若区间[0，1]上，函数f（x）在x=0处取得最大值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=-4时，f′(x)=2x-

4

x+1

=

2(x+2)(x-1)

x+1

，(x＞-1)，由此能求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）f′(x)=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

，(x＞-1)，由函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，知2x²+2x+a＞0在[2，+∞）上恒成立，由此能求出实数a的取值范围．
（Ⅲ）对于方程2x²+2x+a=0，△=4-8a，当△≤0时，f'（x）＞0，f（x）在区间[0，1]上单调递增不合题意．当△＞0时，设x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程2x²+2x+a=0的两个根，由此能求出实数a的取值范围．

解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）a=-4，f（x）=x²-4ln（x+1）（x＞-1），
f′(x)=2x-

4

x+1

=

2(x+2)(x-1)

x+1

，(x＞-1)，（2分）
∴当-1＜x＜1时f'（x）＜0，
当x＞1时f'（x）＞0
∴函数f（x）在（-1，1）上单调递减，
在（1，+∞）上单调递增，（5分）
（Ⅱ）f′(x)=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

，(x＞-1)
∵函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴2x²+2x+a＞0在[2，+∞）上恒成立，（8分）
令t=2x2+2x=2(x+

1

2

)2-

1

2

，(x≥2)，则t≥12
∴a≥-12．（10分）
（Ⅲ）对于方程2x²+2x+a=0，△=4-8a
当△≤0时，f'（x）＞0，f（x）在区间[0，1]上单调递增不合题意
当△＞0时，设x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程2x²+2x+a=0的两个根，（12分）
根据题意有x₁＜0＜x₂且f（0）＞f（1）
∴

a＜0 aln1＞1+aln2 4-8a＞0

，解得a＜-log₂e
∴实数a的取值范围为（-∞，-log₂e）．（14分）

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．