Question

5．已知函数f（x）=lg（ax²+ax+2）（a∈R）．
（1）若a=-1，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=-1代入f（x），求出f（x）的定义域，结合二次函数的单调性，求出复合函数的单调区间即可；
（2））f（x）的定义域为R等价于ax²+ax+2＞0恒成立，根据二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）当a=-1时，f（x）=lg（-x²-x+2），
由-x²-x+2＞0，即x²+x-2＜0，解得：-2＜x＜1，
所以函数f（x）的定义域为（-2，1）；
设t（x）=-x²-x+2，x∈（-2，1），
则y=lgt在t∈（0，+∞）为增函数．
由复合函数的单调性，
f（x）的单调区间与t（x）=-x²-x+2，x∈（-2，1）的单调区间一致．
二次函数t（x）=-x²-x+2，x∈（-2，1）的对称轴为${x_0}=-\frac{1}{2}$
所以t（x）在$x∈（-2，-\frac{1}{2}]$单调递增，在$x∈[-\frac{1}{2}，1）$单调递减．
所以f（x）的单调增区间为$（-2，-\frac{1}{2}]$，单调减区间为$[-\frac{1}{2}，1）$．
（2）当a=0时，f（x）=lg2为常数函数，定义域为R，满足条件．
当a≠0时，f（x）的定义域为R等价于ax²+ax+2＞0恒成立．
于是有$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={a^2}-8a＜0\end{array}\right.$，解得：0＜a＜8
综上所述，实数a的取值范围是0≤a＜8．

点评 本题考查了对数函数、二次函数的性质、考查复合函数的单调性问题，熟练掌握函数的性质是解题的关键，本题是一道中档题．