Question

19．如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5$\sqrt{3}$，CD=5，BD=2AD．
（Ⅰ）求AD的长；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）假设AD=x，分别在△ACD和△ABC中使用余弦定理计算cosA，列方程解出x；
（2）根据（1）的结论计算sinA，代入面积公式计算．

解答 解：（1）设AD=x，则BD=2x，∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{4{x}^{2}-25}$．
在△ACD中，由余弦定理得cosA=$\frac{A{C}^{2}+A{D}^{2}-C{D}^{2}}{2AC•AD}$=$\frac{50+{x}^{2}}{10\sqrt{3}x}$，
在△ABC中，由余弦定理得cosA=$\frac{A{C}^{2}+A{B}^{2}-B{C}^{2}}{2AC•AB}$=$\frac{100+5{x}^{2}}{30\sqrt{3}x}$．
∴$\frac{50+{x}^{2}}{10\sqrt{3}x}$=$\frac{100+5{x}^{2}}{30\sqrt{3}x}$，解得x=5．
∴AD=5．
（2）由（1）知AB=3AD=15，cosA=$\frac{50+25}{50\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴sinA=$\frac{1}{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AC•ABsinA$=$\frac{1}{2}×5\sqrt{3}×15×\frac{1}{2}$=$\frac{75\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．