Question

20．（1）已知圆C经过O（0，0），Q（-2，2）两点，且被直线y=1截得的线段长为$2\sqrt{3}$．求圆C的方程．
（2）已知点P（1，1）和圆x²+y²-4y=0，过点P的动直线l与圆交于A，B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）设圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入O，Q，利用圆被直线y=1截得的线段长为$2\sqrt{3}$，即可求圆C的方程．
（2）设点M（x，y），圆x²+y²-4y=的圆心坐标为C（0，2），由题意：$\frac{y-2}{x}•\frac{y-1}{x-1}=-1$，化简可得结论．

解答 解：（1）设圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．
因为点O，Q在圆上，代入可得F=0，D-E-4=0，
又由已知，联立：y=1，解得：x²+Dx+E+1=0
由韦达定理知：x₁+x₂=-D，x₁x₂=E+1．
所以：（x₁+x₂）²-4x₁x₂=12  
即：D²-4E-4=12．即：D²-4D=0．
则D=0，E=-4或D=4，E=0．
所以所求圆方程为：x²+y²+4x=0或x²+y²-4y=0．
（2）设点M（x，y），圆x²+y²-4y=的圆心坐标为C（0，2）．
由题意：$\frac{y-2}{x}•\frac{y-1}{x-1}=-1$，化简：x²+y²-x-3y+3=0
所以M点的轨迹方程为x²+y²-x-3y+3=0．

点评 本题考查圆的方程，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．