Question

9．数列{a_n}的首项为a₁=1，数列{b_n}为等比数列，且b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$，若b₁₀b₁₁=2016${\;}^{\frac{1}{10}}$，则a₂₁=2016．

Answer 1

分析 由已知结合b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$，得到a₂₁=b₁b₂…b₂₀，结合b₁₀b₁₁=2016${\;}^{\frac{1}{10}}$，及等比数列的性质求得a₂₁ ．

解答 解：由b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$，且a₁=1，得b₁=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}={a}_{2}$．
b₂=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$，a₃=a₂b₂=b₁b₂．
b₃=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$，a₄=a₃b₃=b₁b₂b₃．
…
a_n=b₁b₂…b_n-1．
∴a₂₁=b₁b₂…b₂₀．
∵数列{b_n}为等比数列，
∴${a}_{21}=（{b}_{1}{b}_{20}）（{b}_{2}{b}_{19}）…（{b}_{10}{b}_{11}）=（{b}_{10}{b}_{11}）^{10}$=$（201{6}^{\frac{1}{10}}）^{10}=2016$．
故答案为：2016．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比数列的性质，是中档题．