Question

  如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1，CG∶GD=   

3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.

（1）求AH∶HD；

（2）求证：EH、FG、BD三线共点.

Answer 1

（1）AH∶HD=3∶1（2）证明略

解析:

(1)  ∵==2，∴EF∥AC.

∴EF∥平面ACD.而EF平面EFGH，

且平面EFGH∩平面ACD=GH，

∴EF∥GH.而EF∥AC，

∴AC∥GH.

∴==3,即AH∶HD=3∶1.

（2）证明  ∵EF∥GH,且=，=，

∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形.

令EH∩FG=P，则P∈EH，而EH平面ABD，

P∈FG，FG平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，

∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.