Question

【题目】已知函数f(x)＝x2＋bx为偶函数，数列{an}满足an＋1＝2f(an－1)＋1，且a1＝3，an>1.

(1)设bn＝log2(an－1)，证明：数列{bn＋1}为等比数列；

(2)设cn＝nbn，求数列{cn}的前n项和Sn.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

(1)证明：∵函数f(x)＝x2＋bx为偶函数，

∴b＝0，

∴f(x)＝x2，

∴an＋1＝2(an－1)2＋1，

∴an＋1－1＝2(an－1)2，

∴＝＝＝2.

∵a1＝3，

∴b1＝log22＝1，

∴bn＋1＝2n.

即bn＝2n－1，

∴数列{bn＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．

(2)解：由题意得cn＝n2n－n.

设An＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，

设Bn＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝，

∴2An＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1.

∴－An＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2，

∴An＝(n－1)2n＋1＋2.

∴Sn＝An－Bn＝(n－1)2n＋1＋2－.