Question

1．已知a＞0，b＞0，若x=min（1，a，$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$），则a，b变化时，x的最大值为$\frac{1+\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 若x=min（1，a，$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$），则x≤1，且x≤a，且x≤$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，由不等式的可加性和基本不等式，即可得到x的最大值．

解答 解：若x=min（1，a，$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$），
则x≤1，且x≤a，且x≤$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
即有3x≤1+a+$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$≤1+a+$\frac{b}{2ab}$
=1+a+$\frac{1}{2a}$，
由1+a+$\frac{1}{2a}$≥1+2$\sqrt{a•\frac{1}{2a}}$=1+$\sqrt{2}$．
即有x≤$\frac{1+\sqrt{2}}{3}$．（当且仅当a=b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取得等号）
故答案为：$\frac{1+\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，考查基本不等式的运用，属于中档题．