Question

5．已知偶函数f（x）是定义在{x∈R|x≠0}上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＜0时，f′（x）＞$\frac{f（x）}{x}$恒成立，设m＞1，记a=$\frac{4m•f（m+1）}{m+1}$，b=2$\sqrt{m}$•f（2$\sqrt{m}$），c=（m+1）•f（$\frac{4m}{m+1}$），则a，b，c的大小关系为（　　）

• A． a＜b＜c
• B． a＞b＞c
• C． b＜a＜c
• D． b＞a＞c

Answer 1

分析 构造函数g（x），求出g（x）的奇偶性和单调性，根据函数单调性的性质判断a，b，c的大小即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，（x≠0），
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵x＜0时，f′（x）＞$\frac{f（x）}{x}$恒成立，
即x＜0时，xf′（x）-f（x）＜0，
∴x＜0时，g′（x）＜0，g（x）递减，
而f（-x）=f（x），
∴g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=-$\frac{f（x）}{x}$=-g（x），
g（x）是奇函数，
∴g（x）在（0，+∞）递减，
∵m+1＞2$\sqrt{m}$＞$\frac{4m}{m+1}$，
∴g（m+1）＜g（2$\sqrt{m}$）＜g（$\frac{4m}{m+1}$），
即$\frac{f（m+1）}{m+1}$＜$\frac{f（2\sqrt{m}）}{2\sqrt{m}}$＜$\frac{f（\frac{4m}{m+1}）}{\frac{4m}{m+1}}$，
∴a＜b＜c，
故选：A．

点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性问题，根据函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．