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已知函数,其中.
(1)是否存在实数,使得函数上单调递增?若存在,求出的值或取值范围;否则,请说明理由.
(2)若a<0,且函数y=f(x)的极小值为,求函数的极大值。
(1)存在a=;(2).

试题分析:(1)利用导数求得函数单调递增满足的条件;(2)先求出函数的两个极值点,根据a<0确定极大值与极小值点,由函数的极小值求得,再求出极大值.
(1)∵

可得≥0.即在x∈R时恒成立.
∴Δ=(a+2)2-4(-2a2+4a)≤0,即(3a-2)2≤0,即a=,此时,f′(x)=(x+)2ex≥0,函数y=f(x)在R上单调递增.(2)由f′(x)=0可得ex[x2+(a+2)x-2a2+4a]=0,解之得x1=-2a,x2=a-2.
当a<0时,-2a>a-2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下:
x
(-∞,a-2)
a-2
(a-2,-2a)
-2a
(-2a,+∞)
f′(x)

0

0

f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
 
由条件可知,f(-2a)=-e,即3a·e2a=-e,可得a=-.
此时,f(x)=(x2x-2)ex,极大值为f(a-2)=f(-)=.
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