Question

设函数.
（1）求的单调区间和极值；
（2）若，当时，在区间内存在极值，求整数的值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

试题分析：（1）此问为导数的基础题型，先求，令，求极值点，然后解与，列出的变化表格，从而很容易确定单调区间，以及极值;
（2）代入得到,先求,从无法确定函数的极值点，所以求其二阶导数，令，   ，当时，恒成立，在为单调递减函数，那么的值为极值点，因为是正整数，所以从开始判定符号，,,即为极值点的区间.
（1）令，解得，
根据的变化情况列出表格:

	(0,1)	1
	+	0	_
	递增	极大值	递减

 
由上表可知函数的单调增区间为（0,1），递减区间为，
在处取得极大值，无极小值..            5分
（2）,,
令，   ，
因为恒成立，所以在为单调递减函数，
因为
所以在区间上有零点 ,且函数在区间和上单调性相反，
因此，当时，在区间内存在极值.所以. 12分