Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣ ﹣2lnx，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有两个极值点x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，证明：f（x2）＜x2﹣1．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数 的定义域为（0，+∞）， ，

令f′（x）=0，得x2﹣2x+a=0，其判别式△=4﹣4a，

①当△≤0，即a≥1时，x2﹣2x+a≥0，f′（x）≥0，此时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；

②当△＞0，即a＜1时，方程x2﹣2x+a=0的两根为 ， ，

若a≤0，则x1≤0，则x∈（0，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，

此时，f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；

若a＞0，则x1＞0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，

此时，f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．

综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；

当0＜a＜1时，函数f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；

当a≥1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．

（2）解：由（1）可知，函数f（x）有两个极值点x1，x2，等价于方程x2﹣2x+a=0在（0，+∞）有

两不等实根，故0＜a＜1．

（3）证明：由（1），（2）得0＜a＜1， ，且1＜x2＜2， ． ，

令g（t）=t﹣2lnt﹣1，1＜t＜2，

则 ，

由于1＜t＜2，则g′（t）＜0，故g（t）在（1，2）上单调递减．

故g（t）＜g（1）=1﹣2ln1﹣1=0．

∴f（x2）﹣x2+1=g（x2）＜0．

∴f（x2）＜x2﹣1．

【解析】（1）求出函数的定义域为（0，+∞），函数的导数，令f′（x）=0，①当△≤0，②当△＞0，a＜1时，若a≤0，若a＞0，分别判断导函数的符号，得到函数的单调性．当0＜a＜1时，（2）求出函数f（x）有两个极值点x1 ， x2 ， 等价于方程x2﹣2x+a=0在（0，+∞），直接推出结果．（3）通过（1），（2），推出0＜a＜1，构造新函数g（t）=t﹣2lnt﹣1，1＜t＜2，利用新函数的单调性证明 求解即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．