Question

7．在△ABC中，已知tanA，tanB是关于x的方程${x^2}+\sqrt{3}px+p+1=0$的两个实根．
（1）求∠C；
（2）若c=7，a+b=8，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）利用方程的根与系数的关系，结合两角和与差的正切函数转化求解即可．
（2）利用已知条件以及余弦定理，转化求解即可．

解答 解：（1）由△≥0得$p≤-\frac{2}{3}$或p≥2，故p≠0，由题有$\left\{\begin{array}{l}tanA+tanB=-\sqrt{3}p\\ tanAtanB=p+1\end{array}\right.，C=π-（A+B）$，
∴$tanC=-tan（A+B）=-\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}=-\frac{{-\sqrt{3}p}}{1-（p+1）}=-\sqrt{3}$．
又C∈（0，π），∴$C=\frac{2π}{3}$．
（2）∵$c=7，C=\frac{2π}{3}$，∴由余弦定理可得a²+b²+ab=49．
又a+b=8，∴ab=15．
∴$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题考查两角和与差的正切函数，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．