Question

4．已知函数f（x）=-2+log_a（x+3）（a＞0且a≠1），g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1．
（1）函数y=f（x）的图象恒过定点A，求A点坐标；
（2）若函数F（x）=f（x）-g（x）的图象过点（-1，-5），证明：方程F（x）=0在x∈（1，5）上有唯一解．

Answer 1

分析 （1）当x+3=1时，log_a（x+3）=log_a1=0，由此能求出A点坐标．
（2）函数F（x）=f（x）-g（x）=-2+log_a（x+3）-（$\frac{1}{2}$）^x-1，由F（x）的图象过点（-1，-5），得到a=2，从而$F（x）=lo{g}_{2}（x+3）-（\frac{1}{2}）^{x-1}-2$，由F（x）在（1，5）上是增函数，用F（1）与F（5）异号可知方程F（x）=0在x∈（1，5）上有唯一解，能证明方程F（x）=0在x∈（1，5）上有唯一解．

解答 解：（1）∵函数f（x）=-2+log_a（x+3）（a＞0且a≠1），
∴当x+3=1时，log_a（x+3）=log_a1=0，
即x=-2时，f（-2）=-2+log_a1=-2，
∵函数y=f（x）的图象恒过定点A，
∴A点坐标为（-2，-2）．
证明：（2）∵函数f（x）=-2+log_a（x+3）（a＞0且a≠1），g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1．
∴函数F（x）=f（x）-g（x）=-2+log_a（x+3）-（$\frac{1}{2}$）^x-1，
∵F（x）的图象过点（-1，-5），
∴F（-1）=-2+log_a2-（$\frac{1}{2}$）^-2=-5，
解得a=2，
∴$F（x）=lo{g}_{2}（x+3）-（\frac{1}{2}）^{x-1}-2$，
∵x∈（1，5），∴h（x）=log₂（x+3）∈（2，3），t（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1+2∈（$\frac{33}{16}，3$），
且在（1，5）上，h（x）=log₂（x+3）是增函数，t（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1+2是减函数，
∴$F（x）=lo{g}_{2}（x+3）-（\frac{1}{2}）^{x-1}-2$，在（1，5）上是增函数，
∵F（1）=$lo{g}_{2}4-（\frac{1}{2}）^{0}-2$=-1＜0，
F（5）=$lo{g}_{2}8-（\frac{1}{2}）^{4}-2$=$\frac{15}{16}$＞0，
∴方程F（x）=0在x∈（1，5）上有唯一解．

点评 本题考查定点坐标的求法，考查方程在开区间上有唯一解的证明，考查对数性质、函数单调性、对数函数与指数函数的图象等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．