Question

19．设a，b∈R．若直线l：ax+y-7=0在矩阵A=$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{-1}&{b}\end{array}]$对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x+y-91=0．
（1）求实数a，b的值； 
（2）求出矩阵A的特征值及对应一个的特征向量．

Answer 1

分析 （1）在直线l：ax+y-7=0上取点A（0，7），B（1，7-a），求出在矩阵A对应的变换作用下A′（0，7b），B′（3，b（7-a）-1），由题意得A′，B′在直线9x+y-91=0上，列出方程组能求出实数a，b的值分别为2，13．
（2）由A=$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{-1}&{13}\end{array}]$，得矩阵A的特征方程为f（λ）=|λE-A|=$|\begin{array}{l}{λ-3}&{0}\\{1}&{λ-13}\end{array}|$=（λ-3）（λ-13）=0，由此能求出矩阵A的特征值及对应一个的特征向量．

解答 解：（1）在直线l：ax+y-7=0上取点A（0，7），B（1，7-a），
∵$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{-1}&{b}\end{array}][\begin{array}{l}{7}\\{0}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{0}\\{7b}\end{array}]$，$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{-1}&{b}\end{array}][\begin{array}{l}{1}\\{7-a}\end{array}]=[\begin{array}{l}{3}\\{b（7-a）-1}\end{array}]$
∴A（0，7），B（1，7-a）在矩阵A对应的变换作用下A′（0，7b），B′（3，b（7-a）-1），
由题意得A′，B′在直线9x+y-91=0上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{7b-91=0}\\{27+b（7-a）-1-91=0}\end{array}\right.$，解得a=2，b=13，
∴实数a，b的值分别为2，13．
（2）由（1）得A=$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{-1}&{13}\end{array}]$，
∴矩阵A的特征方程为：
f（λ）=|λE-A|=$|\begin{array}{l}{λ-3}&{0}\\{1}&{λ-13}\end{array}|$=（λ-3）（λ-13）=0，
解得矩阵A的特征值为λ₁=3，λ₂=13，
设λ₁=3对应的特征向量$\overrightarrow{{α}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{{x}_{1}}\\{{y}_{1}}\end{array}]$，则$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{-1}&{13}\end{array}][\begin{array}{l}{{x}_{1}}\\{{y}_{1}}\end{array}]$=$3[\begin{array}{l}{{x}_{1}}\\{{y}_{1}}\end{array}]$，
解得x₁=10y₁，∴λ₁=3对应的一个特征向量$\overrightarrow{{α}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{10}\\{1}\end{array}]$．
设λ₂=13对应的特征向量$\overrightarrow{{α}_{2}}$=$[\begin{array}{2}{{x}_{2}}\\{{y}_{2}}\end{array}]$，则$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{-1}&{13}\end{array}][\begin{array}{2}{{x}_{2}}\\{{y}_{2}}\end{array}]$=$13[\begin{array}{2}{{x}_{2}}\\{{y}_{2}}\end{array}]$，
解得x₂=0，∴λ₂=13对应的一个特征向量$\overrightarrow{{α}_{2}}$=$[\begin{array}{l}{0}\\{1}\end{array}]$．
（特征向量答案不唯一）．

点评 本题考查实数值的求法，考查矩阵的特征值、特征向量的求法，考查矩阵变换、矩阵的特征向量、特征值等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．