Question

1．已知曲线C₁：x²+y²=4，点N是曲线C₁上的动点．
（1）已知定点M（-3，4），动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，求动点P的轨迹方程；
（2）设点A为曲线C₁与x轴的正半轴交点，将A沿逆时针旋转$\frac{2π}{3}$得到点B，点N在曲线C₁上运动，若$\overrightarrow{ON}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，求m+n的最大值．

Answer 1

分析 （1）把已知向量等式变形，可得，$|\overrightarrow{MP}|=|\overrightarrow{ON}|=2$，则点P在以M为圆心2为半径的圆上，由此求得点P的轨迹方程；
（2）设（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），N（2cosθ，2sinθ），由$\overrightarrow{ON}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$可得m，n与θ的关系，求得m+n=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ，然后利用辅助角公式化简求最值．

解答 解：（1）由 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，得$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{ON}$，
即$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{ON}$，∴$|\overrightarrow{MP}|=|\overrightarrow{ON}|=2$，
∴点P在以M为圆心2为半径的圆上，
故点P的轨迹方程为（x+3）²+（y-4）²=4；
（2）设（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），N（2cosθ，2sinθ）．
由$\overrightarrow{ON}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，得（2cosθ，2sinθ）=m（2，0）+n（-1，$\sqrt{3}$），
得$\left\{\begin{array}{l}{2cosθ=2m-n}\\{2sinθ=\sqrt{3}n}\end{array}\right.$，整理得$\left\{\begin{array}{l}{m=cosθ+\frac{sinθ}{\sqrt{3}}}\\{n=\frac{2sinθ}{\sqrt{3}}}\end{array}\right.$．
∴m+n=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ=2sin（$θ+\frac{π}{6}$），θ∈[0，2π）．
故当$θ=\frac{π}{3}$时，m+n有最大值2．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查平面向量及其应用，训练了利用辅助角公式求三角函数的最值，是中档题．