Question

9．已知函数f（x）=log_a（2+x）+log_a（2-x），a＞0且a≠1．
（1）求函数f（x）的定义域并判断其奇偶性．
（2）求不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质可得2+x＞0，2-x＞0，可得定义域，根据定义判断其奇偶性即可．
（2）利用对数的运算，对a进行讨论，即可求出不等式f（x）＞0的解集．

解答 解：（1）函数f（x）=log_a（2+x）+log_a（2-x），a＞0且a≠1．
对数函数的性质可得：$\left\{\begin{array}{l}{2+x＞0}\\{2-x＞0}\end{array}\right.$，解得：-2＜x＜2，
∴函数f（x）的定义域为{x|-2＜x＜2}，
∵f（-x）=log_a（2-x）+log_a（2+x）=f（x），
∴函数f（x）是偶函数；
（2）不等式f（x）＞0，即log_a（2+x）+log_a（2-x）＞0，
可得：log_a（2+x）（2-x）＞log_a1
当1＞a＞0时，可得（2+x）（2-x）＜1，
即4-x²＜1，
∴x$＜-\sqrt{3}$或$x＞\sqrt{3}$．
∵-2＜x＜2，
∴不等式的解集为（-2，$-\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，2）
当a＞1时，可得（2+x）（2-x）＞1，
即4-x²＞1，
∴$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{3}$
∵-2＜x＜2，
∴不等式的解集为（$-\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．注意底数a的讨论．