Question

14．已知f（x）=xlnx，
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）若x＞1时，f（x）＜a（x²-1），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数 f（x）定义域，导函数f'（x），令f'（x）=0，求解极值点，然后求解最小值．求解函数f（x）的值域．
（Ⅱ）f（x）＜a（x²-1）?xlnx-a（x²-1）＜0，令g（x）=xlnx-a（x²-1），（x＞1），g'（x）=lnx+1-2ax，令h（x）=lnx+1-2ax，$h'（x）=\frac{1-2ax}{x}$，通过①若a≤0，②若$0＜a＜\frac{1}{2}$，③若$a≥\frac{1}{2}$，分别判断函数的单调性通过f（x）＜a（x²-1），求解a的取值范围．

解答 满分（12分）．
解：（Ⅰ） f（x）定义域为（0，+∞）…（1分）
f'（x）=lnx+1，令f'（x）=0，
即lnx+1=0得$x=\frac{1}{e}$，…（2分）
当$x∈（0，\frac{1}{e}）$时，f'（x）＜0；当$x∈（\frac{1}{e}，+∞）$时，f'（x）＞0，…（3分）
∴当$x=\frac{1}{e}$时，f（x）取得极小值即最小值$f（\frac{1}{e}）=\frac{1}{e}ln\frac{1}{e}=-\frac{1}{e}$
∴函数f（x）的值域为$（-\frac{1}{e}，+∞）$．…（4分）
（Ⅱ）f（x）＜a（x²-1）?xlnx-a（x²-1）＜0
令g（x）=xlnx-a（x²-1），（x＞1），g'（x）=lnx+1-2ax，
令h（x）=lnx+1-2ax，$h'（x）=\frac{1-2ax}{x}$，…（5分）
①若a≤0，h'（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（1）=1-2a＞0，即g'（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，g（x）＞g（1）=0，不符合题意；…（7分）
②若$0＜a＜\frac{1}{2}$，由h'（x）=0得$x=\frac{1}{2a}＞1$，
∴当$x∈（1，\frac{1}{2a}）$时，h'（x）＞0，∴h（x）在$（1，\frac{1}{2a}）$上单调递增，
从而h（x）＞h（1）=1-2a＞0，即g'（x）＞0，∴g（x）在$（1，\frac{1}{2a}）$上单调递增，
从而g（x）＞g（1）=0，不符合题意；  …（9分）
③若$a≥\frac{1}{2}$，则h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（1）=1-2a＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，g（x）＜g（1）=0，从而f（x）＜a（x²-1）．…（11分）
综上所述，a的取值范围是$[{\frac{1}{2}，+∞}）$．…（12分）

点评 本题主要考查函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想及化归思想等．