Question

19．已知函数f（x）=2log₂（2^x+1）-x．
（1）求证：f（x）是偶函数：
（2）设以g（x）=2^f（x）+x+m•2^x，x∈[0，log₂3]，是否存在实数m，使得g（x）的最小值为0，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性的定义证明函数的奇偶性即可；
（2）化简g（x）的解析式，令2^x=t，得到g（x）=t²+（m+2）t+1，t∈[1，3]，求出函数的对称轴-$\frac{m+2}{2}$≤1，通过讨论对称轴的位置确定函数的最大值，求出m的值即可．

解答 解：（1）∵f（x）的定义域是R，
f（-x）=2log₂（2^-x+1）+x=2log₂（1+2^x）-2log₂2^x=2log₂（2^x+1）-x=f（x），
故f（x）是偶函数；
（2）g（x）=${2}^{{2log}_{2}{（2}^{x}+1）}$+m•2^x=（2^x）²+（m+2）2^x+1，
x∈[0，log₂3]时，2^x∈[1，3]，
令2^x=t，则y=g（x）=t²+（m+2）t+1，t∈[1，3]，
当-$\frac{m+2}{2}$≤1时，y=t²+（m+2）t+1在[1，3]递增，
t=1时，y_min=m+4=0，解得：m=-4，
1＜-$\frac{m+2}{2}$＜3时，t=$\frac{m+2}{2}$时，y_min=1-$\frac{{（m+2）}^{2}}{4}$=0，
解得：m=0或-4，与1＜-$\frac{m+2}{2}$＜3矛盾，
当-$\frac{m+2}{2}$≥3时，t=3时，y_min=3m+16=0，
解得m=-$\frac{16}{3}$与-$\frac{m+2}{2}$≥3矛盾，
故存在满足条件的m=-4．

点评 本题考查了函数的奇偶性，考查二次函数以及对数函数的性质，考查转化思想，分类讨论思想，是一道中档题．