Question

10．已知函数f（x）=-x²-6x-3，g（x）=$\frac{{{e^x}+ex}}{ex}$，实数m，n满足m＜n＜0，若?x₁∈[m，n]，?x₂∈（0，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，则n-m的最大值为4．

Answer 1

分析 利用导数法可得当x=1时，g（x）取最小值2，由f（x）=-x²-6x-3在x=-3时，取最大值6，令f（x）=2，则x=-5，或x=-1，数形结合可得答案．

解答 解：∵g（x）=$\frac{{e}^{x}+ex}{ex}$，
∴g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{e{x}^{2}}$，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
故当x=1时，g（x）取最小值2，
由f（x）=-x²-6x-3在x=-3时，取最大值6，
令f（x）=2，则x=-5，或x=-1，
作两个函数的图象如右图所示：
由图可得：n-m的最大值为-1-（-5）=4．
故答案为：4．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的最值，二次函数的图象和性质，数形结合思想，是中档题．