Question

15．某公司对新研发的一种产品进行试销，得到如下数据及散点图：

定价x（元/kg）	10	20	30	40	50	60
天销售量y（kg）	1150	643	424	262	165	86
z=2lny	14.1	12.9	12.1	11.1	10.2	8.9

其中z=2lny，$\overline{x}$=35，$\overline{y}$=455，$\overline{z}$=11.55，$\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=1750，$\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）•（{y}_{i}-\overline{y}）$=-34580，$\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）•（{z}_{i}-\overline{z}）$=-175.5，$\sum_{i=1}^{6}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}$=776840，$\sum_{i=1}^{6}（{y}_{i}-\overline{y}）•（{z}_{i}-\overline{z}）$=3465.2
（1）根据散点图判断y与x，z与x哪一对具有较强的线性相关性（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据Ⅰ的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程（运算过程及回归方程中的系数均保留两位有效数字）
（3）定价为150元/kg时，天销售额的预报值为多少元？
附：对于一组数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），…（x_n，y_n），其回归直线$\widehat{y}$=$\widehat{b}$•x$+\widehat{a}$的斜率和截距的最小二乘法估计分别为$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）•（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}•{y}_{i}-n•\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n•{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$$-\widehat{b}$$•\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）由散点图知z与x有较强的线性相关性；
（2）由题意求出回归系数，写出z关于x的回归方程以及y关于x的回归方程；
（3）写出天销售额函数L（x），计算x=150时L（x）的值即可．

解答 解：（1）由散点图知，y与x，z与x比较，z与x有较强的线性相关性；
（2）由$\overline{x}$=35，$\overline{z}$=11.55，$\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=1750，$\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）•（{z}_{i}-\overline{z}）$=-175.5，
得$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{6}{（x}_{i}-\overline{x}）{（z}_{i}-\overline{z}）}{{\sum_{i=1}^{6}{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$=$\frac{-175.5}{1750}$≈-0.10，
∴$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{z}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=11.55+0.10×35=15.05≈15，
∴$\stackrel{∧}{z}$=-0.10x+15；
又z=2lny，
∴y关于x的回归方程为y=${e}^{\frac{z}{2}}$=${e}^{\frac{-0.10z+15}{2}}$；
（3）天销售额为L（x）=x•y=x${e}^{\frac{-0.10x+15}{2}}$，
当x=150时，L（x）=150×${e}^{\frac{-0.10×150+15}{2}}$=150，
∴定价为150元/kg时，天销售额的预报值为150元．

点评 本题考查了散点图与线性回归方程的解法与应用问题，是中档题．