Question

7．已知函数f（x）=x+a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2}$lnx（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（2，3），求a的值：
（2）若f（x）在区间（$\frac{1}{4}$，1）上存在极值点，判断该极值点是极大值点还是极小值点，并求a的取值范围；
（3）若当x＞0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程，代入（2，3），求出a的值即可；
（2）求出函数的导数，设f（x）的一个极值点是m，得到a=$\frac{1}{\sqrt{m}}$-2$\sqrt{m}$，结合函数的单调性求出a的范围即可；
（3）问题转化为a＞$\frac{\frac{1}{2}lnx-x}{\sqrt{x}}$对?x＞0恒成立，设g（x）=$\frac{\frac{1}{2}lnx-x}{\sqrt{x}}$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=1+$\frac{a}{2\sqrt{x}}$-$\frac{1}{2x}$，
故f′（1）=$\frac{1}{2}$+$\frac{a}{2}$，f（1）=1+a，
故切线方程是：y-（1+a）=（$\frac{1}{2}$+$\frac{a}{2}$）（x-1），
将x=2，y=3代入得：3-（1+a）=$\frac{1}{2}$+$\frac{a}{2}$，解得：a=1；
（2）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2x+a\sqrt{x}-1}{2x}$，
设f（x）的一个极值点是m，则2m+a$\sqrt{m}$-1=0，即a=$\frac{1}{\sqrt{m}}$-2$\sqrt{m}$，
故f′（x）=$\frac{（2\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{m}}）（\sqrt{x}-\sqrt{m}）}{2x}$，
x∈（0，m]时，f′（x）＜0，x∈（m，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）递减，在（m，+∞）递增，
故m是f（x）的唯一的极值点，且是极小值点，
由题设得m∈（$\frac{1}{4}$，1），
∵函数a=$\frac{1}{\sqrt{m}}$-2$\sqrt{m}$在（$\frac{1}{4}$，1）递减，
∴$\frac{1}{\sqrt{1}}$-2$\sqrt{1}$＜a＜$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}}$-2$\sqrt{\frac{1}{4}}$，即-1＜a＜1，
故a的范围是（-1，1）；
（3）x＞0时，f（x）＞0恒成立，
则x+a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2}$lnx＞0恒成立，
即a＞$\frac{\frac{1}{2}lnx-x}{\sqrt{x}}$对?x＞0恒成立，
设g（x）=$\frac{\frac{1}{2}lnx-x}{\sqrt{x}}$，求导得g′（x）=$\frac{1-x-\frac{1}{2}lnx}{2x\sqrt{x}}$，
设h（x）=1-x-$\frac{1}{2}$lnx，（x＞0），
显然h（x）在（0，+∞）递减，
又h（1）=0，则当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，从而g′（x）＞0，
当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，从而g′（x）＜0，
g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
故g（x）max=g（1）=-1，故a＞-1，
即a的范围是（-1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．