Question

11．如图，F为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，经过F点作倾斜角为锐角的直线l，与准线及抛物线的交点自下至上依次为P，A，B，且$\overrightarrow{PA}$=2$\overrightarrow{AF}$．
（Ⅰ）求直线l的斜率；
（Ⅱ）若M为抛物线弧AOB（不含端点）上的一个动点，当△MAB的面积的最大值为$\sqrt{3}$时，求p的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线的定义，结合题意求出直线l的倾斜角和斜率；
（Ⅱ）写出直线l的方程，与抛物线方程联立消去y，得关于x的方程，利用抛物线的定义求出AB，再求出M到直线l的距离d，计算△MAB的面积最大值，从而求出p的值．

解答 解：（Ⅰ）如图所示，
过A作AN垂直准线l，垂足为N，
由抛物线的定义可得AF=AN，
∵$\overrightarrow{PA}$=2$\overrightarrow{AF}$．∴PA=2AN，
∴∠PAN=60°，
∴直线l的斜率为tan60°=$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得直线l的方程为y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），与抛物线方程联立，
得$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，消去y，得3x²-5px+$\frac{{3p}^{2}}{4}$=0，
∴x₁+x₂=$\frac{5p}{3}$，
∴AB=AF+BF=x₁+x₂+p=$\frac{8p}{3}$；
设M（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2p}$，y₀），直线l：$\sqrt{3}$x-y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$p=0，
则M到直线l的距离为
d=$\frac{|\frac{{{\sqrt{3}y}_{0}}^{2}}{2p}{-y}_{0}-\frac{\sqrt{3}}{2}p|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{1}{2}$×|$\frac{\sqrt{3}}{2p}$${{y}_{0}}^{2}$-y₀-$\frac{\sqrt{3}}{2}$p|，
△MAB的面积为
S_△MAB=$\frac{1}{2}$×$\frac{8p}{3}$×$\frac{1}{2}$×|$\frac{\sqrt{3}}{2p}$${{y}_{0}}^{2}$-y₀-$\frac{\sqrt{3}}{2}$p|
=$\frac{1}{3}$×|$\sqrt{3}$${{y}_{0}}^{2}$-2py₀-$\sqrt{3}$p²|
=$\frac{1}{3}$×|$\sqrt{3}$${{（y}_{0}-\frac{1}{\sqrt{3}}p）}^{2}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$p²|，
当y₀=$\frac{1}{\sqrt{3}}$p时，△MAB取得最大值为$\frac{4\sqrt{3}}{9}$p²=$\sqrt{3}$，
解得p=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了抛物线的定义与应用问题，也考查了三角形面积的计算问题，是综合题．