Question

1．已知圆C经过点A（1，3），B（2，2），并且直线m：3x-2y=0平分圆C．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+2与圆C交于M，N两点，是否存在直线l，使得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=6（O为坐标原点），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）线段AB的中点E$（\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$，k_AB=-1，可得线段AB的中垂线方程．因为圆C经过A，B两点，故圆心在线段AB的中垂线上．又因为直线m：3x-2y=0平分圆C，所以直线m经过圆心．联立解得圆心C的坐标，利用两点之间距离公式可得圆的半径r，即可得出圆的方程．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），将y=kx+2代入方程圆的方程，可得（1+k²）x²-（2k+4）x+4=0，△＞0，得k的取值范围，利用根与系数的关系可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$，代入$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=6．解出k即可判断出结论．

解答 解：（1）线段AB的中点E$（\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$，k_AB=$\frac{3-2}{1-2}$=-1，
故线段AB的中垂线方程为y-$\frac{5}{2}$=$x-\frac{3}{2}$，即x-y+1=0．…（1分）
因为圆C经过A，B两点，故圆心在线段AB的中垂线上．
又因为直线m：3x-2y=0平分圆C，所以直线m经过圆心．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{3x-2y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
即圆心的坐标为C（2，3），…（3分）
而圆的半径r=|BC|=$\sqrt{（2-2）^{2}+（2-3）^{2}}$=1，…（4分）
所以圆C的方程为：（x-2）²+（y-3）²=1．…（5分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
将y=kx+2代入方程圆的方程，即（1+k²）x²-（2k+4）x+4=0，（*）．
由△=（2k+4）²-16（1+k²）＞0，得$0＜k＜\frac{4}{3}$，
∴x₁+x₂=$\frac{2k+4}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{1+{k}^{2}}$，…（7分）
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=6，
∴（1+k²）$\frac{4}{1+{k}^{2}}$+2k$•\frac{2k+4}{1+{k}^{2}}$+4=6，
即3k²+4k+1=0，
解得k=-1，或k=-$\frac{1}{3}$．…（10分）
此时不满足△＞0，与直线l与C于M，N两点相矛盾，
所以不存在直线l，使得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=6．…（12分）

点评 本题考查了直线与圆相交关系、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、中垂线的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．