Question

12．已知向量|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为45°，若$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrow{d}$方向上的投影为（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． -$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrow{d}$方向上的投影为|$\overrightarrow{c}$|与向量$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$夹角的余弦值的乘积，即可求得答案．

解答 解：根据数量积的几何意义可知，$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrow{d}$方向上的投影为|$\overrightarrow{c}$|与向量$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$夹角的余弦值的乘积，
∴$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrow{d}$方向上的投影为|$\overrightarrow{c}$|•cos$＜\overrightarrow{c}，\overrightarrow{d}＞$，如图：|$\overrightarrow{c}$|²=（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²=1+2+$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×2$=5．|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{5}$
cos$＜\overrightarrow{c}，\overrightarrow{d}＞$=-$\frac{1}{\sqrt{5}}$
∴则$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrow{d}$方向上的投影为-1．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量数量积的几何意义，数量积的定义以及两向量的夹角问题．启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．属于基础题．