Question

3．对于函数y=f（x），x∈A，若同时满足以下条件：①f（x）在A上单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆A（a＜b且ab≠0），使f（x）在区间[a，b]上的值域也是区间[a，b]，则称y=f（x）是闭函数．
（I）求闭函数f（x）=x³符合条件的区间[a，b]；
（2）若函数y=k+$\sqrt{x+4}$是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数f（x）=-x³在R上为单调减函数的特点，由f（a）=b，f（b）=a列方程即可解得a，b．
（2）y=k+$\sqrt{x+4}$在[-4，+∞）单调递增，若存在区间[a，b]⊆[-4，+∞），使得在区间[a，b]上值域为[a，b]，则得到关于a，b的方程组，此方程组有[-4，+∞）上的解即可，转化为二次函数根的分布问题，列不等式即可得k的取值范围．

解答 解：（1）由题意，y=x³ 在[a，b]上递增，在[a，b]上的值域为[a，b]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}=a}\\{{b}^{3}=b}\\{a＜b}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，∴所求的区间[a，b]为[-1，1]．
（2））∵函数 y=k+$\sqrt{x+4}$是在[-4，+∞）单调递增，若y=k+$\sqrt{x+4}$是闭函数，
则存在区间[a，b]⊆[-4，+∞），使得在区间[a，b]上值域为[a，b]，
即$\left\{\begin{array}{l}{a=k+\sqrt{a+4}}\\{b=k+\sqrt{b+4}}\end{array}\right.$，
∴a，b为方程x=k+$\sqrt{x+4}$的两个实数根，
即方程x²-（2k+1）x+k²-4=0（x≥-4，x≥k）有两个不等的实根．
令h（x）=x²-（2k+1）x+k²-4，则有 $\left\{\begin{array}{l}{△{=（2k+1）}^{2}-4{（k}^{2}-4）＞0}\\{h（-4）≥0}\\{h（k）≥0}\\{\frac{2k+1}{2}＞-4}\end{array}\right.$，解得-$\frac{9}{2}$＜k≤-4．
∴k的取值范围为（-$\frac{9}{2}$，-4]．

点评 本题考查了新定义型函数的理解和运用能力，函数单调性的应用，转化化归的思想方法，属于中档题．