Question

已知函数f（x）=x²-（k-2）x+k²+3k+5有两个零点：
（1）若函数的两个零点是-1和-3，求k的值；
（2）若函数的两个零点是α和β，求α²+β²的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意得，函数的零点就是方程的根，即方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的两个根是-1和-3，根据根与系数的关系可得k的值，
（2）由题中条件：“函数的两个零点是α和β”得α和β是方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的两根，利用根与系数的关系表示出α²+β²，最后结合根的判别为非负数的条件求出一个二次函数的最值即得．

解答：解：（1）：∵-1和-3是函数f（x）的两个零点
∴-1和-3是方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的两个实数根（2分）
则：

-1-3=k-2 -1×(-3)=k2+3k+5

解的k=-2（4分）
（2）：若函数的两个零点为α和β，
则α和β是方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的两根
∴

a+β=k-2 aβ=k2+3k+5 △=(k-2)2-4×(k2+3k+5)≥0

（7分）
则

α2+β2=(α+β)2-2αβ=-k2-10k-6 -4≤k≤- 4 3

∴α2+β2在区间[-4，-

4

3

]上的最大值是18，最小值

50

9

（11分）
即：α2+β2的取值范围为[

50

9

，18]（12分）

点评：本题主要考查了函数的零点，我们把函数y=f（x）的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点（the zero of the function），即方程的根． f（x）的零点就是方程f（x）=0的解．这样就为我们提供了一个通过函数性质确定方程的途径．函数的零点个数就决定了相应方程实数解的个数．