Question

18．在△ABC中，内角A，B，C的时边分别为a，b，c，△ABC的面积记为S，若acosB+bcosA=c•sinC，且S=$\frac{1}{4}$（b²+c²-a²），则角B=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 acosB+bcosA=c•sinC，正弦定理化为sin（A+B）=sinC=sinCsinC，由于C∈（0，π），可得sinC=1，解得C．由S=$\frac{1}{4}$（b²+c²-a²），利用三角形面积及其余弦定理可得：$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{4}$•2bccosA，化简即可得出．

解答 解：∵acosB+bcosA=c•sinC，∴sinAcosB+sinBcosA=sinC•sinC，化为sin（A+B）=sinC=sinCsinC，
∵C∈（0，π），∴sinC≠0，∴sinC=1，解得C=$\frac{π}{2}$．
∵S=$\frac{1}{4}$（b²+c²-a²），∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{4}$•2bccosA，化为tanA=1，又A为锐角，∴A=$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了和差公式、三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．