【题目】在平面直角坐标系中,点在椭圆:上.若点,,且.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设椭圆的焦距为4,,是椭圆上不同的两点,线段的垂直平分线为直线,且直线不与轴重合.
①若点,直线过点,求直线的方程;
② 若直线过点,且与轴的交点为,求点横坐标的取值范围.
【答案】(1);(2)①.或.②..
【解析】
(1)由题意结合向量的坐标运算法则可得.则椭圆的离心率.
(2)①由题意可得椭圆的方程为,设,计算可得中点为,因为直线过点,据此有.联立方程可得斜率为1或,直线的方程为或.
②设:,则直线的方程为:,所以.联立直线方程与椭圆方程可得.结合直线过点和得到关于m的不等式,求解不等式可得点横坐标的取值范围为.
(1)设,
则,.
因为,
所以,得,
代入椭圆方程得.
因为,所以.
(2)①因为,所以,,
所以椭圆的方程为,
设,则.
因为点,所以中点为,
因为直线过点,直线不与轴重合,
所以,所以,化简得.
将代入化简得,
解得(舍去),或.
将代入得,
所以为,
所以斜率为1或,直线的斜率为-1或,
所以直线的方程为或.
②设:,则直线的方程为:
,所以.
将直线的方程代入椭圆的方程消去得.
设,,中点为,
,代入直线的方程得,
代入直线的方程得.
又因为,
化得.
将代入上式得,解得,
所以,且,
所以.
综上所述,点横坐标的取值范围为.
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【题目】二手车经销商小王对其所经营的型号二手汽车的使用年数与销售价格(单位:万元/辆)进行整理,得到如下数据:
使用年数 | ||||||
售价 | ||||||
下面是关于的折线图:
(1)由折线图可以看出,可以用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明;
(2)求关于的回归方程并预测某辆型号二手车当使用年数为年时售价约为多少?(、小数点后保留两位有效数字)
(3)基于成本的考虑,该型号二手车的售价不得低于元,请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年?
参考数据:
,,,
,,
,,.
参考公式:回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,.
,、为样本平均值.
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【题目】为响应绿色出行,某市在推出“共享单车”后,又推出“新能源分时租赁汽车”.其中一款新能源分时租赁汽车,每次租车收费的标准由两部分组成:①根据行驶里程数按1元/公里计费;②行驶时间不超过分时,按元/分计费;超过分时,超出部分按元/分计费.已知王先生家离上班地点15公里,每天租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红绿灯等因素,每次路上开车花费的时间(分)是一个随机变量.现统计了50次路上开车花费时间,在各时间段内的频数分布情况如下表所示:
时间(分) | ||||
频数 | 2 | 18 | 20 | 10 |
将各时间段发生的频率视为概率,每次路上开车花费的时间视为用车时间,范围为分.
(1)写出王先生一次租车费用(元)与用车时间(分)的函数关系式;
(2)若王先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”,设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数,求的分布列和期望;
(3)若公司每月给1000元的车补,请估计王先生每月(按22天计算)的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车?并说明理由.(同一时段,用该区间的中点值作代表)
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线交于两点.
(1)求直线l的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)已知点的极坐标为,求的值.
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【题目】某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润y与投资x成正比,其关系如图甲,B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比,其关系如图乙注:利润与投资单位为万元
分别将A,B两种产品的利润y表示为投资x的函数关系式;
该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产问:怎样分配这10万元资金,才能使企业获得最大利润,最大利润是多少万元?
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【题目】某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为
A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
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