Question

9．如果关于x的不等式|x-3|+|x-4|≤|a|的解集为空集．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若实数b与实数a取值范围完全相同，求证：|1-ab|＞|a-b|

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义，求得实数a的取值范围．
（2）要证的不等式等价于 （1-a²）（1-b²）＞0，由条件得到（1-a²）＞0，且（1-b²）＞0，不等式得证．

解答 解：（1）由于|x-3|+|x-4|≤表示数轴上的x对应点到3、4对应点的距离之和，它的最小值为1，
由于关于x的不等式|x-3|+|x-4|≤|a|的解集为空集，
故|a|＜1，求得-1＜a＜1．
（2）若实数b与实数a取值范围完全相同，即-1＜b＜1，即|b|＜1，
|1-ab|＞|a-b|，等价于 （1-ab）²＞（a-b）²，等价于1+a²b²-a²-b²＞0，
等价于 （1-a²）（1-b²）＞0．
由于（1-a²）＞0，且（1-b²）＞0，故（1-a²）（1-b²）＞0成立，即|1-ab|＞|a-b|成立．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．