Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-与x=1时都取得极值．
（1）求a、b的值；
（2）若函数f（x）的图象与x轴有3个交点，求c的取值范围．

Answer 1

解：（1）f（x）=x³+ax²+bx，f′（x）=3x²+2ax+b
由f′（ ）=，f′（1）=3+2a+b=0
得a=，b=-2
经检验，a=，b=-2符合题意
（2）由（1）得
∴f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
列表

x	（-∞，-）	-	（-，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

，
要使函数f（x）的图象与x轴有3个交点，
须满足
解得，
因此c的取值范围为：．
分析：（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即可，写出函数的解析式．
（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，求出极值，令极大值大于零，极小值小于零，解此不等式组即可求得结果．
点评：本题考查利用导数研究函数的极值，以及函数图象与x轴交点个数问题，根据函数f（x）在在x=-与x=1时取得极值，且图象与x轴有且只有3个交点，等价于极大值大于0且极小值小于0，是解题的关键，体现了转化的数学思想方法，属中档题．