Question

如图，在Rt△ABC中，D是斜边AB上一点，且AC=AD，记∠BCD=β，∠ABC=α．
（Ⅰ）求sinα+2sin²β的值； 
（Ⅱ）若BC=CD，求∠CAB的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由直角三角形的两锐角互余及外角性质用α，β表示出∠A和∠ACD，再由AC=AD，利用等边对等角得到一对角相等，进而得出α与β的关系式，用β表示出α，代入所求式子中，利用诱导公式变形，计算后即可得到值；
（Ⅱ）由BC=CD，利用正弦定理列出关系式，利用诱导公式变形后，将第一问得出的α+β=-β，α=-2β代入，利用诱导公式化简，再利用二倍角的余弦函数公式化为关于cosβ的方程，求出方程的解得到cosβ的值，由α和β都为直角三角形的锐角，利用特殊角的三角函数值求出β的度数，即可得到∠CAB的度数．
解答：解：（Ⅰ）由题意知：∠A=-α，∠ACD=-β，
又AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD，
∴α+β=-β，即α=-2β，
则sinα+2sin²β=sin（-2β）+1-cos2β=cos2β+1-cos2β=1；
（Ⅱ）由BC=CD及正弦定理知：==，
∴sin∠BDC=sin[π-（α+β）]=sin（α+β）=sinα，
由（Ⅰ）知α+2β=，即α+β=-β，α=-2β，
∴sin（-β）=sin（-2β），即cosβ=cos2β=（2cos²β-1），
整理得：2cos²β-cosβ-=0，
解得：cosβ=或cosβ=-（舍去），
∵α，β∈（0，），
∴β=，
则∠CAB=．
点评：此题考查了正弦定理，诱导公式，二倍角的余弦函数公式，等腰三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．