Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）求证：DM∥平面PCB；
（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）取AD的中点G，连接PG、GB、BD，根据等腰可知PG⊥AD，BG⊥AD，又PG∩BG=G，满足线面垂直的判定定理，则AD⊥平面PGB，根据线面垂直的性质可知AD⊥PB；
（2）欲证DM∥平面PCB，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证DM与平面PCB内一直线平行，取PB的中点F，连接MF，CF．可证得四边形CDMF是平行四边形，则DM∥CF，CF?平面PCB，DM?平面PCB，满足定理所需条件；
（3）延长AD与BC交点为K，连接PK，过G作GH⊥PK于一定H，连接BH，则BH⊥PK，从而∠BHG为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角，在三角形BHG求出此角即可．

解答：证明：（1）取AD的中点G，连接PG、GB、BD．
∵PA=PD，
∴PG⊥AD（2分）
∵AB=AD，且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，BG⊥AD，又PG∩BG=G，
∴AD⊥平面PGB．
∴AD⊥PB．（4分）

（2）取PB的中点F，连接MF，CF．
∵M、F分别为PA、PB的中点，
∴MF∥AB，且MF=

1

2

AB．
∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，
∴MF∥CD且MF=CD．（6分）
∴四边形CDMF是平行四边形．
∴DM∥CF．
∵CF?平面PCB，DM?平面PCB
∴DM∥平面PCB．（8分）
（3）延长AD与BC交点为K，连接PK．
过G作GH⊥PK于一定H，
连接BH，则BH⊥PK．∴∠BHG为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．0分
设CD=a，则AD=2a，KD=2a，
∴PK=

2a2+4a2-2• 2 a•2a•cos135°

=

10

a．
又因为PK•GH=PG•GK，GK=3a，
∴

10

a•GH=a•3a， ∴GH=

3 10 a

10

∴tan∠GHB=

BG

GH

=

3 a

3 10 a 10

=

30

3

∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为arctan

30

3

．（12分）

点评：本题主要考查了线面垂直的性质，以及线面平行的判定和二面角的度量，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强，属于中档题．