Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过右焦点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，F₁为左焦点，且$\overrightarrow{{F}_{1}P}$⊥$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由离心率公式和a，b，c的关系以及点满足方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）讨论直线l的斜率不存在和存在，联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理，再由向量垂直的条件：数量积为0，化简整理解方程即可得到斜率k，进而得到所求直线方程．

解答 解：（1）根据题意，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又b²=a²-c²，
代入点A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2{b}^{2}}$=1，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，经验证，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，
可得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$，$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（x₁+1，y₁），$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=（x₂+1，y₂），
由于$\overrightarrow{{F}_{1}P}$⊥$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$，所以且$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=0，
即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+k²（x₁-1）（x₂-1）
=（1+k²）x₁x₂-（k²-1）（x₁+x₂）+k²+1=（1+k²）•$\frac{2（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$-（k²-1）•$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+k²+1
=$\frac{7{k}^{2}-1}{2{k}^{2}+1}$=0解得k=$±\frac{\sqrt{7}}{7}$．
故直线l的方程为x+$\sqrt{7}$y-1=0或为x-$\sqrt{7}$y-1=0．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于中档题．